感知机 | 小黄鸭的窝窝✨

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感知机(perceptron)是由美国学者Frank Rosenblatt在1957年提出来的

感知机接收多个输入信号，输出一个信号

感知机的信号只有“流/不流”( 1/0)两种取值

感知机是什么

$x_{1} 、 x_{2}$ 输入信号
$y$ 输出信号
$w_{1} 、 w_{2}$ 权重
图中的圆圈○ 神经元|节点
输入信号被送往神经元时，会被分别乘以固定的权重（ $w_{1} x_{1} 、 w_{2} x_{2}$ ）
神经元被激活神经元会计算传送过来的信号的总和，只有当这个总和超过了某个界限值时，才会输出1
阈值 $θ$ 这个界限值

y = {\begin{cases} 0 & (w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} ⩽ θ) \\ 1 & (w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} > θ) \end{cases}

简单逻辑电路

与门

满足与门（同时为1，信号的加权总和才会超过阈值 $θ$ ）的参数例子：

$(w_{1}, w_{2}, θ) = (0.5, 0.5, 0.7)$
$(w_{1}, w_{2}, θ) = (0.5, 0.5, 0.8)$
$(w_{1}, w_{2}, θ) = (1.0, 1.0, 1.0)$

与非门

满足与非门（不同时为零，信号的加权总和就会超过阈值 $θ$ ）的参数例子： $(w_{1}, w_{2}, θ) = (- 0.5, - 0.5, - 0.7)$

只要把实现与门的参数值的符号取反，就可以实现与非门

或门

满足或门（只要有一个 1 ，信号的加权总和就会超过阈值 $θ$ ）的参数例子： $(w_{1}, w_{2}, θ) = (0.5, 0.5, 0.3)$

感知机的实现

简单实现与门

python

def AND(x1, x2):
    w1, w2, theta = 0.5, 0.5, 0.7
    tmp = x1*w1 + x2*w2
    if tmp <= theta:
        return 0
    elif tmp > theta:
        return 1
        
AND(0, 0) # 输出0
AND(1, 0) # 输出0
AND(0, 1) # 输出0
AND(1, 1) # 输出1

导入权重和偏置

y = {\begin{cases} 0 & (b + w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} ⩽ 0) \\ 1 & (b + w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} > 0) \end{cases}

偏置的输入信号一直是1，为了区别会涂成灰色
$θ$ 换成 $- b$
权重 $w_{1} 、 w_{2}$
偏置 $b$

python

def AND(x1, x2):
    """与门实现"""
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.7
    tmp = np.sum(w*x) + b
    if tmp <= 0:
       return 0
    else:
       return 1

python

def NAND(x1, x2):
    """与非门实现"""
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([-0.5, -0.5])
    b = 0.7
    tmp = np.sum(w*x) + b
    if tmp <= 0:
       return 0
    else:
       return 1

python

def OR(x1, x2):
    """或门实现"""
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.2
    tmp = np.sum(w*x) + b
    if tmp <= 0:
       return 0
    else:
       return 1

感知机的局限性

异或门

事实上，用一条直线是无法将○和△分开的

单层感知机的局限性就在于它只能表示由一条直线分割的空间

线性和非线性

线性空间由直线分割而成的空间
非线性空间由曲线分割而成的空间

多层感知机

已有门电路的组合

异或门的实现

python

def XOR(x1, x2):
    s1 = NAND(x1, x2)
    s2 = OR(x1, x2)
    y = AND(s1, s2)
    return y

XOR(0, 0) # 输出0
XOR(1, 0) # 输出1
XOR(0, 1) # 输出1
XOR(1, 1) # 输出0

拥有权重的层实质只有2层，称为 2层感知机 ；其他文献有的也称 3层感知机